En el ámbito de las matemáticas existen dos conceptos que se consideran pilares esenciales: el Máximo Común Divisor (MCD) y el Mínimo Común Múltiplo (MCM). De hecho, estas herramientas matemáticas no se limitan a usarse en las aulas de clases, actualmente son claves en la resolución de problemas prácticos en el mundo real.
Sin duda, explorar el apasionante universo de los números puede ser una experiencia enriquecedora. Pero contar con la orientación de un tutor personal te puede aportar enormes beneficios. Por otro lado, si ya eres experto en el campo tienes la oportunidad de convertirte en tutor personal. En Busca Tu Profesor puedes, tanto buscar un tutor que se ajuste a tus necesidades, como ofrecer tus servicios como tutor de matemáticas.
EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
El MCD de dos o más números enteros dados es el número más grande que puede dividir exactamente a cada uno de estos números dados. En otras palabras, es el divisor más grande que es común con los números dados. Para entender mejor este concepto ponemos el siguiente ejemplo:
Consideremos los números: 24 y 36.
- Los divisores comunes de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
- Los divisores comunes de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
Los divisores comunes entre 24 y 36 son: 1 y 12. Pero buscamos el divisor más grande; es decir, el número 12. Por lo tanto, el Máximo Común Divisor (MCD) de 24 y 36 es: 12.
Importancia del Máximo Común Divisor (MCD)
La determinación del MCD es fundamental en diversos contextos matemáticos y aplicaciones prácticas. Una muestra de ello es que es útil para simplificar fracciones. Cuando expresamos dos números como fracción, el MCD de los numeradores y denominadores nos proporciona una fracción equivalente en su forma más simple dividiendo ambos por el Máximo Común Divisor.
Adicionalmente, el MCD también es muy útil en la resolución de ecuaciones diofantinas, que son ecuaciones en las que se buscan soluciones enteras. De igual forma, el Máximo Común Divisor tiene un papel fundamental en la teoría de números, en especial en áreas como la factorización y la aritmética modular.
Existen estrategias efectivas que facilitan este proceso y vamos a explicarte dos de los métodos más comunes. Los cuales son:
Descomposición en factores primos
Básicamente consiste en descomponer cada número en sus factores primos. Luego elegimos los factores no comunes y los comunes con mayor exponente. Por último, se multiplican entre ellos para obtener el MCM.
Ejemplo: Encontrar el MCM de 12 y 15.
- Descomponer cada número en sus factores primos.
Para 12 = 22 x 3
Para 15 = 3 x 5
- Se identifican los factores primos y de los comunes se eligen los que tienen mayor exponente.
Factores comunes: 2, 3 y 5.
- Se multiplican entre sí los factores comunes.
22 x 3 x 5 = 30
El MCM de 12 y 15 es: 60.
Tabla de múltiplos
Es unos de los métodos más fáciles que se pueden utilizar. Consiste en construir una tabla de múltiplos para cada número dado y encontrar el primer múltiplo común, el cual será el MCM.
Ejemplo: Encontrar el MCM de 8 y 12.
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40...
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48...
Se identifica el primer múltiplo común; es decir, el primer número que aparece en ambas listas o tablas. Ese número es: 24.
Entonces el MCM de 8 y 12 es: 24.
Leer más: Domina los Sistemas de dos Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas
MÉTODOS EFICACES PARA ENCONTRAR EL MCD DE DOS NÚMEROS
Existen dos métodos eficaces que simplifican este proceso de calcular el Máximo Común Divisor de dos números. Estos son:
Descomposición en factores primos
Este método consiste en descomponer cada número en sus factores primos y luego identificar los factores comunes y elegimos los que tienen menor exponente. Por último, se multiplican entre sí estos factores y el resultado es el MCD.
Ejemplo: Encontrar el MCD de 48 y 18.
- Descomponer cada número en sus factores primos.
Para 48 =24 x 3
Para 18 = 2 x 32
- Se identifican los factores primos comunes y se eligen los que tienen menor exponente.
Factores comunes: 2 y 3
- Se multiplican entre sí los factores comunes.
2 x 3 = 6
El MCD de 48 y 18 es: 6.
Algoritmo de Euclides
Este es uno de los métodos más eficientes y directos para encontrar el MCD de dos números. Consiste en restar el número más pequeño al más grande de los dos números dados. Luego se debe continuar restando el número más pequeño del resultado obtenido. El proceso se repite hasta llegar a obtener un resultado de 0. El MCD será el divisor anterior al 0.
Ejemplo: Encontrar el MCD de 48 y 18.
48 – 18 = 30
30 – 18 = 12
18 – 12 = 6
12 – 6 = 6
6 – 6= 0
Por lo tanto, el MCD de 48 y 18 es: 6
Leer más: ¿Cómo se hace una programación didáctica?
EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
El MCM entre dos o más números es el número común más pequeño de los múltiplos que tienen los números dados. Hay que tener en cuenta que los múltiplos son infinitos, pero para determinar el MCM solo necesitamos el múltiplo común más pequeño. Para explicarlo mejor, detallamos el siguiente ejemplo:
Consideremos los números: 4 y 6.
- Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...
- Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36...
Los múltiplos comunes entre 4 y 6 son: 12, 24 y 36. Pero buscamos el múltiplo más pequeño; es decir, el número 12. Por lo tanto, el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 4 y 6 es: 12.
Importancia del Mínimo Común Múltiplo (MCM)
La utilidad del MCM se basa en su capacidad para ayudarnos a coordinar eventos periódicos y entender las relaciones temporales entre diferentes fenómenos. Además, es ideal para la solución de problemas en diversos campos, desde la programación hasta la ingeniería y la gestión de recursos. Algunas de sus principales aplicaciones son:
- Aritmética modular: Para encontrar soluciones a ecuaciones lineales congruentes.
- Fracciones algebraicas: Para simplificarlas y facilitar la resolución de ecuaciones y expresiones algebraicas.
- Informática y programación: Para sincronizar procesos que se repiten a intervalos regulares
- Gestión logística y de recursos: Para planificar la distribución eficiente de recursos que siguen patrones cíclicos.
- Ingeniería eléctrica: para coordinar la frecuencia de operación de diferentes componentes en un sistema.
- Programación de eventos: Para planificar eventos conjuntos o coordinar actividades en un calendario para optimizar la participación.
Leer más: Los mejores consejos para prepararte para FCE, CAE y CPE
MÉTODOS EFICACES PARA ENCONTRAR EL MCM DE DOS O MÁS NÚMEROS
Existen estrategias efectivas que facilitan este proceso y vamos a explicarte dos de los métodos más comunes. Los cuales son:
Descomposición en factores primos
Básicamente consiste en descomponer cada número en sus factores primos. Luego elegimos los factores no comunes y los comunes con mayor exponente. Por último, se multiplican entre ellos para obtener el MCM.
Ejemplo: Encontrar el MCM de 12 y 15.
- Descomponer cada número en sus factores primos.
Para 12 = 22 x 3
Para 15 = 3 x 5
- Se identifican los factores primos y de los comunes se eligen los que tienen mayor exponente.
Factores comunes: 2, 3 y 5.
- Se multiplican entre sí los factores comunes.
22 x 3 x 5 = 30
El MCM de 12 y 15 es: 60.
Tabla de múltiplos
Es unos de los métodos más fáciles que se pueden utilizar. Consiste en construir una tabla de múltiplos para cada número dado y encontrar el primer múltiplo común, el cual será el MCM.
Ejemplo: Encontrar el MCM de 8 y 12.
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40...
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48...
Se identifica el primer múltiplo común; es decir, el primer número que aparece en ambas listas o tablas. Ese número es: 24.
Entonces el MCM de 8 y 12 es: 24.
